Con frecuencia se elige a las nubes como ejemplo de geometría fractal.
Aquí os dejo un pequeño artículo divulgativo, de fácil lectura, donde se introduce el concepto de fractal y la manera en que el matemático Benoit Mandelbrot llegó a él.
http://www.divulgameteo.es/uploads/Nubes-fractales.pdf (http://www.divulgameteo.es/uploads/Nubes-fractales.pdf)
(https://foro.tiempo.com/imagenes/imagen-no-existe.png)
La condición de fractal de las nubes se pone de manifiesto en imágenes como ésta, en la que nos resulta imposible saber discernir si la nube generada por el geiser es mayor o menor que alguna de las las que tapizan el cielo.
estupendo artículo, que me ha retrotaido en el tiempo unos cuantos años :)
solo un comentario sobre las curvas de koch,
el perímetro no es infinito, son las divisiones las que tienen tendencias al infinito, al ser cada división más pequeña que la anterior su sumatorio no será nunca infinito, el perímetro sigue estando limitado, eso sí, para obtener su valor exacto sería necesario realizar un número infinito de subdivisiones,
resumiendo, el perimetro tiende a un valor concreto de una manera infinita, siendo precisamente esta tendencia la que define la forma de dicho contorno.
(algo similar a la obtención del cociente de una raiz cuadrada => números irracionales)
Muy buena explicación, _00_.
Interesante artículo: las nubes son un muy buen ejemplo de la geometría fractal.
La figura formada por el método descrito en el artículo tiene perímetro infinito como bien se indica en el mismo: En cada iteración cada segmento es sustituido por una línea quebrada cuya longitud es 4/3 la longitud del segmento original. Después de n iteraciones el perímetro de la figura es por tanto (4/3)^n (^ es "elevado a") por la longitud del triángulo original. Por lo tanto, cuando n crece a infinito, también lo hace el perímetro. Sin embargo, el área de la figura permanece acotada en todo momento, y aunque va creciendo, lo hace de una forma cada vez más leve.
Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 01:24:06 AM
estupendo artículo, que me ha retrotaido en el tiempo unos cuantos años :)
solo un comentario sobre las curvas de koch,
el perímetro no es infinito, son las divisiones las que tienen tendencias al infinito, al ser cada división más pequeña que la anterior su sumatorio no será nunca infinito, el perímetro sigue estando limitado, eso sí, para obtener su valor exacto sería necesario realizar un número infinito de subdivisiones,
resumiendo, el perimetro tiende a un valor concreto de una manera infinita, siendo precisamente esta tendencia la que define la forma de dicho contorno.
(algo similar a la obtención del cociente de una raiz cuadrada => números irracionales)
???
¿Al final eso es un problema de Series?¿No?
Saludos 8)
Cita de: mamato en Lunes 10 Enero 2011 10:53:18 AM
Interesante artículo: las nubes son un muy buen ejemplo de la geometría fractal.
La figura formada por el método descrito en el artículo tiene perímetro infinito como bien se indica en el mismo: En cada iteración cada segmento es sustituido por una línea quebrada cuya longitud es 4/3 la longitud del segmento original. Después de n iteraciones el perímetro de la figura es por tanto (4/3)^n (^ es "elevado a") por la longitud del triángulo original. Por lo tanto, cuando n crece a infinito, también lo hace el perímetro. Sin embargo, el área de la figura permanece acotada en todo momento, y aunque va creciendo, lo hace de una forma cada vez más leve.
no, en todo caso segmento será substituido por una linea quebrada cuya longitud es 3/4,
por lo que queda como (3/4)^n (enésima potencia de un número menor de 1)
logicamente un perímetro infinito albergaría una superficie infinita, facilmente deducible, y demostrable, mediante integración y/o derivación.
Cita de: rayo_cruces en Lunes 10 Enero 2011 16:06:34 PM
???
¿Al final eso es un problema de Series?¿No?
Saludos 8)
Sip ;)
(y de la velocidad con las que estas convergen hacia un valor determinado)
Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 16:25:21 PM
Cita de: mamato en Lunes 10 Enero 2011 10:53:18 AM
Interesante artículo: las nubes son un muy buen ejemplo de la geometría fractal.
La figura formada por el método descrito en el artículo tiene perímetro infinito como bien se indica en el mismo: En cada iteración cada segmento es sustituido por una línea quebrada cuya longitud es 4/3 la longitud del segmento original. Después de n iteraciones el perímetro de la figura es por tanto (4/3)^n (^ es "elevado a") por la longitud del triángulo original. Por lo tanto, cuando n crece a infinito, también lo hace el perímetro. Sin embargo, el área de la figura permanece acotada en todo momento, y aunque va creciendo, lo hace de una forma cada vez más leve.
no, en todo caso segmento será substituido por una linea quebrada cuya longitud es 3/4,
por lo que queda como (3/4)^n (enésima potencia de un número menor de 1)
logicamente un perímetro infinito albergaría una superficie infinita, facilmente deducible, y demostrable, mediante integración y/o derivación.
Estás equivocado: donde había 3 segmentos de la misma longitud, en la siguiente iteración hay 4: el ratio de crecimiento es 4/3. Aquí está muy bien explicada la construcción de la curva: http://es.wikipedia.org/wiki/Copo_de_nieve_de_Koch
Precisamente, la gracia de esta curva es que tiene área finita y perímetro infinito, en matemáticas aparecen paradojas como ésta... Lo que sí es imposible es construir una curva cerrada con perímetro finito y área infinita.
Un saludo. :)
si, entiendo lo que dices, pero eso está mal explicado, o mejor dicho, se aprovecha de una mala interpretación de los infinitos
esta es la formula que dan:
(https://foro.tiempo.com/imagenes/imagen-no-existe.png)
lo que es una entelequia, ya que la realidad es que esa sucesión cuando tiende al infinito es del tipo: infinito/infinito, lo que es una indeterminación,
esa es la peculariedad que tienen, y que no se permite su tratamiento según la matemática "usual", al igual que son formas no derivables,
al igual que es una entelequia hablar de la curva de koch cuando en realidad no es ninguna curva
similar es decir que una raiz cuadrada no tiene solución ya que no se puede calcular su número exacto (mediante números enteros)
siguiendo ese método podríamos decir que la costa de la península es infinita :rcain:
o siguiendo ese mismo planteamiento podemos concluir que el area también es infinita ya que con cada subdivisión que hacemos aumentamos el area, infinitesimalmente, pero la aumentamos
bueno, lo que quiero dar a entender es que los fractales no son perímetros al uso,
son lineas que tienen al infinito y al mismo tiempo son superficies que tienden a cero, duales como la luz ;)
Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 18:15:11 PM
si, entiendo lo que dices, pero eso está mal explicado, o mejor dicho, se aprovecha de una mala interpretación de los infinitos
esta es la formula que dan:
(https://foro.tiempo.com/imagenes/imagen-no-existe.png)
lo que es una entelequia, ya que la realidad es que esa sucesión cuando tiende al infinito es del tipo: infinito/infinito, lo que es una indeterminación,
esa es la peculariedad que tienen, y que no se permite su tratamiento según la matemática "usual", al igual que son formas no derivables,
Indeterminación significa que todavía no sabemos cuánto vale el límite, aparece en reglas de cálculos de límites para que los alumnos tengan cuidado y apliquen a continuación la técnica correcta para que deje de ser indeterminación, es decir, para calcularlo bien.
En nuestro caso el límite (en realidad te sobra el "-1" del exponente del denominador pero esto no cambia el resultado final) es infinito: 4/3 por 4/3 por 4/3 etc. da obviamente infinito, o si lo prefieres un nº mayor que 1 elevado a infinito es infinito.
Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 18:15:11 PM
al igual que es una entelequia hablar de la curva de koch cuando en realidad no es ninguna curva
similar es decir que una raiz cuadrada no tiene solución ya que no se puede calcular su número exacto (mediante números enteros)
Estamos hablando de curvas en el sentido matemático, por supuesto, y en tal sentido la curva de Koch es una curva como cualquier otra. Del mismo modo una raíz cuadrada es un número en sí mismo, cómo se puede expresar en términos de números más "sencillos" es otro cantar.
Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 18:15:11 PM
siguiendo ese método podríamos decir que la costa de la península es infinita :rcain:
Efectivamente, es imposible medir la longitud de la costa de la península ibérica, si lo intentásemos hacer con precisión (a escala tan pequeña como podamos) nos daría una cantidad muchísmo mayor de la que se puede encontrar en algunas publicaciones, que está obtenida a una escala arbitraria y grande, despreciando los accidentes geográficos de menor escala.
Sin embargo despreciar esos accidentes tiene una repercusión muy pequeña en el cálculo del área, la superficie de la península ibérica que aparece en los libros es correcta, el error de cálculo es despreciable.
Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 18:15:11 PM
o siguiendo ese mismo planteamiento podemos concluir que el area también es infinita ya que con cada subdivisión que hacemos aumentamos el area, infinitesimalmente, pero la aumentamos
El área es finita: si imaginamos que el triángulo original mide 1 unidad de lado, se puede apreciar a simple vista que podemos encerrar el copo de nieve de Koch en un cuadrado de lado por ejemplo 4 unidades (con menos también vale). Por lo tanto, el área del copo es menor que el área del cuadrado (que es 16, finita), concluyendo así que el área del copo es finita.
Además me he tomado la molestia de calcular el área con exactitud. Ahora sí que aparece una serie (suma con infinitos sumandos) geométrica convergente (que da un nº) de las que hablábais antes. El resultado es que el área del copo es igual al área del triángulo multiplicada por 5/2. O sea que si el área original era 1, el área final es 2.5.
Os recomiendo el clásico "How Long Is the Coast of Britain? Statistical
Self-Similarity and Fractional Dimension" de Mandelbrot. Por supuesto mamato tiene razón: es precisamente la no derivabilidad la que permite que un perímetro infinito circunscriba un area finita, lo que no podría nunca suceder si fuese derivable. La auto-similitud a cualquier escala implica una cantidad infinita de detalle y, por tanto, un perímetro infinito.
Saludos.
Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 01:24:06 AM
al ser cada división más pequeña que la anterior su sumatorio no será nunca infinito
Bueno, esto creo que no siempre es cierto...la serie "sumatorio" 1/n creo recordar que no es convergente, ¿no?
Un saludo.
Cita de: febrero 1956 en Lunes 10 Enero 2011 19:49:46 PM
Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 01:24:06 AM
al ser cada división más pequeña que la anterior su sumatorio no será nunca infinito
Bueno, esto creo que no siempre es cierto...la serie "sumatorio" 1/n creo recordar que no es convergente, ¿no?
Un saludo.
cierto, la serie 1/n converge a cero, el sumatorio es infinito
el area de koch si que es convergente (y no es 2,5) es ((2*sqr(3))/5)*lado^2
pero teneís razón, me he perdido en entelequias aunque .....
Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 20:17:34 PM
Cita de: febrero 1956 en Lunes 10 Enero 2011 19:49:46 PM
Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 01:24:06 AM
al ser cada división más pequeña que la anterior su sumatorio no será nunca infinito
Bueno, esto creo que no siempre es cierto...la serie "sumatorio" 1/n creo recordar que no es convergente, ¿no?
Un saludo.
cierto, la serie 1/n converge a cero, el sumatorio es infinito
Perdón por ser algo impertinente... ;D ;)
Yo creo que sería más exacto decir que la sucesión 1/n tiende a 0 (cuando n tiende a infinito) y la serie 1/n es divergente (o no converge).
Un saludo y perdona por ser tan puntilloso. ;)
;D lo que es es
así que lo apropiado también es decir,
¡españa, el país de infinitas playas! o ¡las infinitas curvas de tu cuerpo (serrano)!
sin necesidad de ser poéticos, sino siendo análiticos y matemáticamente correctos.
Para no alejarnos del todo del asunto de las nubes, creo que sería interesante reflexionar sobre la razón por la que pensais que las nubes nos resultan tan atractivas (algo extensible a todas las formas fractales que aparecen en la Naturaleza).
Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 20:17:34 PM
el area de koch si que es convergente (y no es 2,5) es ((2*sqr(3))/5)*lado^2
Efectivamente, había cometido un errorcejo en la cuenta, el área del copo de Koch es 8/5 por el área del triángulo original o, lo que es lo mismo, (2*sqr(3)/5)*lado^2 siendo "lado" la longitud de un lado del triángulo original. Aquí hay una demostración:
http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake
Si la hubiese visto antes me hubiese ahorrado el errorcejo: 3^2=6 :-[
Cita de: spissatus en Lunes 10 Enero 2011 22:08:38 PMsería interesante reflexionar sobre la razón por la que pensais que las nubes nos resultan tan atractivas
Porque no hay dos iguales. :risa:
Cita de: spissatus en Lunes 10 Enero 2011 22:08:38 PM
Para no alejarnos del todo del asunto de las nubes, creo que sería interesante reflexionar sobre la razón por la que pensais que las nubes nos resultan tan atractivas (algo extensible a todas las formas fractales que aparecen en la Naturaleza).
La belleza y la simetría siempre han ido de la mano...De hecho, la simetría es algo tan sublime que suele llevar consigo magnitudes que se conservan.
Un saludo
Cita de: Pannus (Паннуса) en Lunes 10 Enero 2011 22:18:06 PM
Cita de: spissatus en Lunes 10 Enero 2011 22:08:38 PMsería interesante reflexionar sobre la razón por la que pensais que las nubes nos resultan tan atractivas
Porque no hay dos iguales. :risa:
Sí Pannus, sin embargo la cosa es más sutil, ya que se requieren patrones de repetición para alcanzar ese grado sublime que nuestro cerebro procesa como "bello". La simetría también aparece en las formas atmosféricas, pero no tanto como en las plantas o en nosotros mismos, por ejemplo (al menos no de forma tan clara y manifiesta). Creo que esto es así por la propia naturaleza del aire.
Pues opino que, al igual que en los fractales, la superficie de una nube cumuliforme es como la de una coliflor: cada protuberancia tiene a su vez varias protuberancias de las que salen a su vez más protuberancias menores, y así hasta límites infinitesimales.
yo creo ue tiene que ver con la psique, y la manera en que interpretamos las formas,
al igual que en una mancha de tinta, en las nubes proyectamos las formas de nuestro inconciente, siendo así las nubes un camino para ponernos en contacto con nuestro interior, con nosotros mismos.
Cita de: Pannus (Паннуса) en Lunes 10 Enero 2011 22:33:01 PM
Pues opino que, al igual que en los fractales, la superficie de una nube cumuliforme es como la de una coliflor: cada protuberancia tiene a su vez varias protuberancias de las que salen a su vez más protuberancias menores, y así hasta límites infinitesimales.
La coliflor, al igual que un cúmulo bien desarrollado, es una forma de crecimiento que sigue unas pautas de comportamiento parecidas. En más de una charla he utilizado ese parecido tan evidente entre ambas estructuras (Cu congestus y coliflor) para ilustrar que estamos hablando de cosas no tan diferentes, pues ambas están sometidas a unas leyes comunes e invariantes en la Naturaleza. Podemos construir una comparación similar entre una galaxia espiral y una borrasca de esas que a veces surcan el Atlántico Norte.
Lo que ocurre en la atmósfera es que el movimiento caótico (turbulento) del aire impide que ese tipo de estructuras nubosas bellas perduren en el tiempo, cosa que no le ocurre a una coliflor hasta que llega hasta nuestra cocina y la fragmentamos para cocinarla.
Si cogiésemos un mapa de isobaras y fuésemos reduciendo el intervalo entre líneas (primero 4 hPa, luego 2 hPa, luego 1, 0'5, 0'4... ) veríamos cada vez más núcleos de alta/baja presión, hasta la escala microscópica...
Otra peculiaridad de que nos parezcan tan bellas las nubes es la misma que aducía Pepo Juega en este artículo de la RAM:
https://www.tiempo.com/ram/numero8/pdf/caos2.pdf (https://www.tiempo.com/ram/numero8/pdf/caos2.pdf)
Citar...
El conjunto de Mandelbrot ampliado por un ordenador casero puede llegar a ser tan grande como la órbita de Júpiter, un billón y medio de kilómetros de ancho, como diez veces la distancia de la tierra al Sol. ¿Cuales son las probabilidades de que la zona escogida por nosotros no haya sido nunca visitada?. De hecho no solo son elevadas, son casi absolutas.
...
como en este caso, la variabilidad de las nubes nos hace que nuestra vista de la/s nube/s sea única, y que probablemente nadie vea esas mismas formas, ¡solo nosotros estamos viendo esa nube!
(otros verán una nube parecida, pero no la misma)
una vez más me desvio del tema nuboso,
como he mencionado, en el caso de límites fractales no se puede hablar de perímetro "al uso", ya que los mencionados límites no se encuentran dentro de la dimensión adecuada para ser condiderados así,
me explico,
cuando hablamos del perímetro de una superficie lo hacemos entendiendo que el area es bidimensional y que este perímetro es unidimensional,
mientras que si definimos el perímetro como una estructura fractal estamos variando esa topología, el perimetro deja de ser unidimensional para pasar a ser "interdimensional",
topologicamente ya no tiene el mismo sentido, deja de ser un perimetro para pasar a ser un limite interdimensional,
otro ejemplo diferente a la curva de koch sería el triangulo de Sierpinski, el perímetro tiende a infinito, el área tiende a cero,
¿curva infinita que encierra un área nula?
topologicamente no pueden tratarse como areas o perímetros al uso.
Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 23:39:45 PM
una vez más me desvio del tema nuboso,
como he mencionado, en el caso de límites fractales no se puede hablar de perímetro "al uso", ya que los mencionados límites no se encuentran dentro de la dimensión adecuada para ser condiderados así,
me explico,
cuando hablamos del perímetro de una superficie lo hacemos entendiendo que el area es bidimensional y que este perímetro es unidimensional,
mientras que si definimos el perímetro como una estructura fractal estamos variando esa topología, el perimetro deja de ser unidimensional para pasar a ser "interdimensional",
topologicamente ya no tiene el mismo sentido, deja de ser un perimetro para pasar a ser un limite interdimensional,
otro ejemplo diferente a la curva de koch sería el triangulo de Sierpinski, el perímetro tiende a infinito, el área tiende a cero,
¿curva infinita que encierra un área nula?
topologicamente no pueden tratarse como areas o perímetros al uso.
En topología, más que la dimensión, lo verdaderamente importante es la métrica que tú definas. Un mismo conjunto con diferentes métricas puede comportarse de maneras dispares. Lo que sucede es que estamos muy acostrumbrados a trabajar con la euclídea y, si la cambiamos ( por la discreta, por ejemplo), nos salen sarpullidos.
Pero bueno: que nos vamos del asunto, aunque éste sea interesantísimo...( espacios métricos y tal... ;D )
Un saludo.
Ya que se ha hecho referencia en el topic a la curva de Koch y al triángulo de Sierpinski, pongo aquí las figuras de este par de estructuras fractales:
(https://foro.tiempo.com/imagenes/imagen-no-existe.png)
(https://foro.tiempo.com/imagenes/imagen-no-existe.png)