Bueno se llama clima mediterráneo porque es en la cuenca del mar Mediterráneo donde más extensión ocupa este tipo de clima, con mucha diferencia, en las otras regiones del planeta donde se da, como en zonas de California, Chile, Sudáfrica, etc. la extensión es muchísimo más reducida.
En cuanto a tu segunda pregunta estás en lo cierto, lo que determina un clima como mediterráneo es la precipitación, y concretamente la aridez estival, provocada por el ascenso latitudinal del cinturón de anticiclones subtropicales en verano (el de las Azores en nuestro caso), dando lugar a que la estación más calurosa sea al mismo tiempo la más seca, algo poco corriente a nivel global.