Soy de letras y mis conocimientos de matemátican llegan como máximo a las derivadas y alguna integral suelta... Pero mi hermana, que se acerca a los 40, es una mujer de ciencias puras que es sadomasoquista y se ha puesto a estudiar Física por la UNED.

No se por qué le ha dado por las fractales y, aunque reconozco que es algo interesante, tanto gráficamente como en cuanto al planteamiento, flipé ayer en cuanto me empezó a contar estas movidas...

Sabiendo que este tema del caos y de las fractales surgió de usos meteorológicos de la matemática, ¿alguién podría hacer una pequeña sesión de matemática/física aplicada para explicarme un poco este tema? Acto seguido le comentaré a mi hermana, que seguro que se emociona... jeje

Yuuujuuu, vigilant... por aqui te reclaman...

Cita de: Vigorro en Lunes 03 Abril 2006 22:01:07 PM
Yuuujuuu, vigilant... por aqui te reclaman...

El tema del caos y de los fractales es tan complejo como interesante. He leido varios libros sobre el tema y la verdad es que con los fractales llega un momento que me pierdo .

Si quieres una explicación matemática y física sobre los fractales tendrá que ser el Sr Vigilant el que la de.

Si te interesa algo menos matemático sobre el caos en los programas de radio colgados en mi post hay uno so bre el efecto mariposa, o sea sobre el comportamiento caótico de la atmósfera.

Saludos

Buenas tardes.

Por petición pupular, intentaré dar mi punto de vista sobre el tema, desde una perspectiva física y por supuesto personal. Sin embargo, intentaré ser menos aburrido de lo que acostumbro, y por ello empiezo exponiendo unas imágenes, ilustrativas nunca mejor dicho.

Un poco de imágenes



Echad un vistazo a estas páginas:

http://fractales.free.fr/paysage/paysage00.htm
http://www.educnet.education.fr/math/images/fractales/default.htm

Uno puede buscar en el google fractales y le sale una infinidad de imágenes, todas muy hermosas.

Personalmente, el "fractal" que más me gusta es el Universo. La propia organización de la materia es un "fractal" (casi): redes de grupos galácticos, galaxias, sistemas estelares, planeta, materia, agregados atómicos, agregados nucleares, agregados de quarks, ...

http://atlas.zevallos.com.br/wunivers.gif
http://esamultimedia.esa.int/images/spcs/hubble/hst_78_high.jpg
http://centros5.pntic.mec.es/ies.santa.barbara/cosmos/universo.jpg
http://astro.berkeley.edu/~cpma/localgroup.gif

Es decir, el universo es similar en todas las escalas: Estructuras de "puntos".

El universo es caótico. Dentro del caos se halla órden y viceversa.
La definición de fractal y caos no es sencilla, por tanto lo dejaré para el final.

Antes de aplicar los fractales y el caos a la meteorología, me gustaría hacer una introducción previa.

Introducción

Todos hemos oído hablar alguna vez de fractales, o al menos sobre el caos. Sin duda, el fractal más popular es el trinángulo de Sierpinski.



La construcción de este fractal puede realizarse de dos formas:

- Ley "explícitamente determinista": A cada triángulo equilátero (en negro) lo dividimos en 4 equiláteros idénticos y extreamos el central.

- Ley "aleatoria": Partiendo de un punto cualquiera del espacio 2D, escogemos un vértice al azar y trazamos el punto medio. Realizamos M>>100 iteraciones, y a partir de N>>10 iteraciones representamos los puntos.

Esto nos hace intuir ya que dentro del "caos" (en este caso la ley aleatoria) podemos encontrar un "órden".

De hecho, toda ley "caótica" tiene su correspondiente diagrama de bifurcacion, en función de parámetros o condiciones iniciales.


http://www.arrakis.es/~sysifus/caos.html

http://www.imho.com/grae/chaos/images/chaosfig3.gif
http://www.imho.com/grae/chaos/chaos.html

Pero ¿qué es el caos?

La gente tiende a pensar que sólo las ecuaciones complejas producen caos. Pues esa idea es falsa. Ecuaciones tan simples en sistemas discretos como esta x' = L*x(1-x) produce caos.

Iteraciones

En el caos hay una variable "tiempo" que describe la evolución de un sistema continuo o discreto. En el caso de que sea discreto, la variable tiempo es el número de iteraciones.

Es fácil ver que para un pequeño número de interaciones en general no se observa nada especial, o a veces una simple linealidad, pero los Sistemas Caóticos son especialmente sensibles a pequeñas variaciones de los parámetros o condiciones iniciales y al paso del tiempo

Esto ya podría entenderse como "definición" de caos; de este modo, practicamente toda ley (física) puede resultar caótica para un período de tiempo dado (ya que nunca podremos controlar a la perfección las condiciones iniciales y del parámetro).

La propia dinámica del sistema solar también es caótica, pero para tiempos superiores al millón de años.

El clima sería caótico si lo analizamos en tiempos superiores a 100 años, y el tiempo es la expresión más famosa del caos para escalas de tiempo muy pequeñas (incluso inferiores al día)

A mí me gusta visualizar el tiempo, el clima, las edades y las eras como distintas escalas de una misma Imagen Fractal de las variables termodinámicas.

La variabilidad del tiempo atmosférico y del clima sigue curvas similares pero a distintas escalas de tiemp, igual que el triángulo de Sierpinski para distintas escalas de espacio.

Los modelos meteorológicos. Edward Lorenz

Debido a la no linealidad de las ecuaciones de la meteorología (Navier-Stokes, simplificaciones, etc., las retroalimentaciones y acoplamientos multivaluados) pequeñas diferencias en las condiciones iniciales introducidas en un procesador pueden desprender soluciones muy distintas.

Cito textualmente:

Edward Lorenz utilizaba un programa de ordenador para calcular mediante varias ecuaciones las condiciones meteorológicas probables. Pero se dio cuenta de que al redondear los datos iniciales sólo un poco, los datos finales eran radicalmente diferentes. Descubrió que eso es debido a los rizos retroalimentadores y reiteraciones del sistema caótico que representa la atmósfera. Lorenz había intuido el efecto mariposa.

Imaginad que la siguiente curva representa la anomalía térmica prevista para 850hPa, y la gráfica es el modelo GFS en dos salidas consecutivas:


http://www.sctsystemic.com/caos.htm

Al principio las dos Salidas coinciden bastante bien, pero el pequeño error inicial se propaga ampliándose considerablemente (situación repulsora).

Sin embargo, también cabe la posibilidad que, puntualmente tiendan a converger (situación atractora). Esto sucede a veces también en la meteorología, en la que "Salida" tras "Salida" los modelos predicen la misma ola de calor para la semana siguiente.

Pero las situaciones atractoras son poco frecuentes (a proporción).

Estudio fractal de los modelos

A pesar de que el caos representa una "imposibilidad predictiva", se pueden hacer diagramas de bifurcación y representaciones fractales sobre la gama de posibilidades del sistema termodinámico y de geofluídos.

Si cogiéramos un modelo y representásemos la variabilidad ligada a variar las condiciones iniciales y los parámetros, podríamos comprovar que existe cierto órden.

En el caso del triángulo de Sierpinski, la "variable azar" de escoger un vértice, sufría un acoplamiento intrínseco al hecho de que los vértices etsán dispuestos de forma regular.

En otras palabras, los vértices representan un ciclo de 120º (cada 120º tenemos un vértice), de tal modo que la elección "aleatoria" de vértices sufre una "resonancia" en ese ciclo: los demás ciclos tienden a anularse y dicho ciclo tiende a ampliarse por el ruído (lo aleatorio). Por eso observamos miniciclos de perídos 120ºC, y de amplitud "fractal".

En la meteorología ocurre lo mismo. A pesar del ruído, tenemos algunas variables regulares (cílicas): días/noche, estaciones,... oscialciones NAO, ENSO, ... oscilaciones de las advecciones de aire, ...variables órbito-rotacionales.

En todas las escalas tenemos algun ciclo al que el ruído se puede acoplar. Ese acoplamiento (o resonancia) permite realizar pronósticos con un cierto intervalo de precisión en cada escala:

- Podemos calcular con mucha precisión la temperaturas a pocas horas vista, en un determiando punto, para una hora determinada
- Podemos calcular la temperatura a pocos días vista en una zona grande (España), para un día determinado.
- Podemos calcular la temperatura a unas semanas vista a nivel Europeo, para una semana determianda
- Podemos calcular la temperatura a meses vista a nivel global, para un mes determiando.

Igualmente, podríamo calcular el clima para una detemianda década a décadas vista. Etc.

Bueno, sólo quería hacer un comentario de 4 lineas y veo que me he extendido un pelín, perdón. 

Entended que la Teoría del Caos da para 10 créditos, y más si añadimos la especialidad de caos y fractales en meteorología


Análisis de la resonancia fractal

A menudo hemos comentado en otros tópics, que teóricamente es posible detectar si existe resonancia, mediante un análisis espectral (o de Furier). Pues bien, dicho análisis representa la búsqueda de las frecuencias del diagrama fractal de la meteorología.


http://raphaello.univ-fcomte.fr/IG/Fractales/Fractales.htm

Sin embargo, las variables a las que se acopla el ruído suelen cambiar, por lo que el caso de la meteorología es muy compleja en comparación a un fractal "común".

PD: Espero no haber sido demasiado pesado 

¿Ese ruido (aleatoriedad) es posible de eliminar por completo
o es algo intrinseco a la realidad matematica y fisica?
es decir, ¿ se puede llegar a hacer un pronostico perfecto eliminando todas las incertidumbres de las variables (algo de por si muy dificil en meteorologia) o no hay ninguna opcion de conseguirlo?

Acabo de hacer un comentario en:
https://foro.tiempo.com/acoplamiento-ciclico-sollluvia-t45664.html-msg977817#msg977817

Cita de: JULEPE en Miércoles 05 Abril 2006 21:23:20 PM
¿Ese ruido (aleatoriedad) es posible de eliminar por completo
o es algo intrinseco a la realidad matematica y fisica?
es decir, ¿ se puede llegar a hacer un pronostico perfecto eliminando todas las incertidumbres de las variables (algo de por si muy dificil en meteorologia) o no hay ninguna opcion de conseguirlo?

Lo único que podemos hacer es una predicción de un comportamiento medio, que anule parcialmente el "ruído" en una determinada escala.

El ruído es intrínseco y relativo a la escala a la que te fijas.

Si nos fajamos en el tiempo de hoy, la situación de cada hora es rúido, y la media determina el "tiempo" del día. Si nos fijamos en la temperatura de un mes, la diaria es ruído, igualmente si nos fijamos en la temperatura de un año, las mensuales son ruído.

El ruído es el "detalle fractal" de una rama fractal vista en un primer plano, el cual se convierte en "lineal". Todo es cuasi-lineal en una determianda escala. No sé si me explico.

En otras palabras. Sólo podemos hacer pronósticos medios de una precisión temporal del mismo órden de la escala a la que estamos mirando. Por ejemplo: podemos saber el tiempo medio que hará mañana, porque falta un día, y podríamos saber el tiempo medio de la semana que viene, del mes que viene, etc, pero nunca el tiempo de un día concreto, de un mes concreto de un año concreto. Y no lo sabremos "nunca" porque es "imposible" conocer de forma exacta las condiciones inciales en todos los puntos de a Tierra, a´si como todos los factores exteriores (solar, etc.).

Saluts! 

 














En serio, vigilant, todo esto es superinteresante pero yo me pierdo... lo voy a ver todo despacio y si eso, preguntare... saludos...!!!