¿Algún experto me puede explicar que son las "condiciones de contorno" en un modelo numérico de predicción del tiempo?

Muchas gracias

Hola bora,

no soy ningún experto pero... ¿te refieres a qué significan de manera muy precisa? Si tu pregunta es referente a qué son de modo más general, tienen que ver con el dato que se da de la solución en la frontera de la región donde ésta última está definida.

Por poner unos ejemplos, imaginemos una ecuación diferencial en una dimensión t, digamos N' = N. La prima significa derivada con respecto del tiempo t. La solución es una exponencial, así que:


y para conocer la solución física final tenemos que dar el dato inicial N(t_0). Esto es una condición inicial, que abusando (mucho) de la nomenclatura podemos llamarla una condición de contorno temporal.

Pero imaginemos que añadimos más dimensiones espaciales. Y supongamos que la región donde está definida la solución no es todo el espacio sino una región de él. Por ejemplo, en dos dimensiones imaginemos que no es todo el plano pero la región dentro de una circunferencia centrada en (0,0). Para dar la solución a la nueva ecuación diferencial (por ejemplo la ecuación del calor u_t - k u_xx  - k u_yy = 0) tenemos que resolver la ecuación y dar un dato sobre u(t,x,y). Por ejemplo dar u sobre la circunferencia que actúa como frontera de la región. Como es el contorno de ésta la llamamos condición de contorno.

¡Espero que sea de tu agrado!
Meteoro.

PD: Bufff... qué post más largo. Seguramente sabes todo esto y querías algo mucho más preciso. Lo siento entonces.

Cita de: Meteoro en Jueves 13 Marzo 2008 00:36:49 AM
Hola bora,

no soy ningún experto pero... ¿te refieres a qué significan de manera muy precisa? Si tu pregunta es referente a qué son de modo más general, tienen que ver con el dato que se da de la solución en la frontera de la región donde ésta última está definida.

Por poner unos ejemplos, imaginemos una ecuación diferencial en una dimensión t, digamos N' = N. La prima significa derivada con respecto del tiempo t. La solución es una exponencial, así que:

N(t) = N(t_0) * exp(t-t_0)

y para conocer la solución física final tenemos que dar el dato inicial N(t_0). Esto es una condición inicial, que abusando (mucho) de la nomenclatura podemos llamarla una condición de contorno temporal.

Pero imaginemos que añadimos más dimensiones espaciales. Y supongamos que la región donde está definida la solución no es todo el espacio sino una región de él. Por ejemplo, en dos dimensiones imaginemos que no es todo el plano pero la región dentro de una circunferencia centrada en (0,0). Para dar la solución a la nueva ecuación diferencial (por ejemplo la ecuación del calor u_t - k u_xx  - k u_yy = 0) tenemos que resolver la ecuación y dar un dato sobre u(t,x,y). Por ejemplo dar u sobre la circunferencia que actúa como frontera de la región. Como es el contorno de ésta la llamamos condición de contorno.

¡Espero que sea de tu agrado!
Meteoro.

PD: Bufff... qué post más largo. Seguramente sabes todo esto y querías algo mucho más preciso. Lo siento entonces.

En los modelos de predicción numérica las condiciones de contorno se refieren a la situación de la atmósfera en los límites de la zona que se está estudiando o modelizando a traves del ordenador.

Es muy típico de los modelos llamados de área limitada, regionales y también de los mesoscalares. Al no calcular para toda la Tierra, tienen que recibir información de cómo se comporta la atmósfera fuera de la zona estudiada. Por ejemplo, si tenemos el modelo HIRLAM, éste necesita que se le indique cuál es la situación en el límite oeste, sur, este y norte... si viene alguna borrasca desde fuera, etc, etc

Los modelos globales creo que tienen pocas condiciones de contorno, ya que al incluir toda la Tierra, resuelven todos los fenómenos que se forman en ella, sin necesidad de indicárselo desde fuera.

Las condiciones de contorno vienen de las ecuaciones diferenciales. A ver si lo recuerdo bien: Me parece que las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones en derivadas parciales 

Ahora, los modelos, son metodos numéricos que traducen las ecuaciones diferenciales al idioma del ordenador, es decir sencillos cálculos matemáticos, para aprovechar la gran potencia y rapidez de cáculo que estos tienen. Además estas ecuaciones diferenciales no tienen solución directa. Es decir no es como 2x+2=4

Un metodo numerico por ejemplo es el de Runge-Kuta (la grafía puede no ser la correcta  , hace tiempo que estudie esto y no tengo los libros a mano).

Por tanto las condiciones de contorno deben tener por fuerza también una traducción al metodo numérico. Sin revisar los apuntes no puedo especificar más, lo siento

Buscando en la red para refrescar mi memoria.

Citar
Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en todo tipo de fluidos.

Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando diferentes teoremas matemáticos, llegando así a la llamada formulación diferencial, que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.

Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones hemos de recurrir al análisis numérico para determinar una solución. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante el ordenador se la denomina mecánica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics).

Citar
El análisis numérico es la rama de la matemática que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

Nada como saber buscar 

Una joyita.

Enlace

Eso sí aviso de antemano que hay que tener nociones de matematicas bastante solidas

Esta mi favorito  el metodo de elementos finitos. Buf, menuda empollada que me tuve que pegar en su día. Rocos, muy rocoso

Para hacerse una idea de lo que trata

Citar
La forma en la que las EDP se presentan habitualmente en la modelización de fenómenos de la Ciencia y Tecnología es precisamente la de modelos de evolución en los que se describe la dinámica a lo largo del tiempo de determinada cantidad o variable

Cita de: ivanovitx en Jueves 13 Marzo 2008 18:18:43 PM
En los modelos de predicción numérica las condiciones de contorno se refieren a la situación de la atmósfera en los límites de la zona que se está estudiando o modelizando a traves del ordenador.

Es muy típico de los modelos llamados de área limitada, regionales y también de los mesoscalares. Al no calcular para toda la Tierra, tienen que recibir información de cómo se comporta la atmósfera fuera de la zona estudiada. Por ejemplo, si tenemos el modelo HIRLAM, éste necesita que se le indique cuál es la situación en el límite oeste, sur, este y norte... si viene alguna borrasca desde fuera, etc,

¡Olé ivanovitx! Tus ejemplos han sido bastante más claros y metorológicos que los míos... 

En cuanto a los apuntes que nos aporta Môr Cylch, ¡hombre! son bastante avanzados: hay que conocer EDP's en general, espacios de Sobolev, conocer la noción de solución débil... Hay una referencia que yo creo (humildemente) más accesible dentro de la literatura matemática, que además es un clásico:

E. Hairer, S. P. Norsett y G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I. Springer-Verlag, Berlin, 1993.

Saludos!
Meteoro.

PD: Ah! es Runge-Kutta.

Cita de: Meteoro en Jueves 13 Marzo 2008 23:11:32 PM

Cita de: ivanovitx en Jueves 13 Marzo 2008 18:18:43 PM
En los modelos de predicción numérica las condiciones de contorno se refieren a la situación de la atmósfera en los límites de la zona que se está estudiando o modelizando a traves del ordenador.

Es muy típico de los modelos llamados de área limitada, regionales y también de los mesoscalares. Al no calcular para toda la Tierra, tienen que recibir información de cómo se comporta la atmósfera fuera de la zona estudiada. Por ejemplo, si tenemos el modelo HIRLAM, éste necesita que se le indique cuál es la situación en el límite oeste, sur, este y norte... si viene alguna borrasca desde fuera, etc,

¡Olé ivanovitx! Tus ejemplos han sido bastante más claros y metorológicos que los míos... 

En cuanto a los apuntes que nos aporta Môr Cylch, ¡hombre! son bastante avanzados: hay que conocer EDP's en general, espacios de Sobolev, conocer la noción de solución débil... Hay una referencia que yo creo (humildemente) más accesible dentro de la literatura matemática, que además es un clásico:

E. Hairer, S. P. Norsett y G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I. Springer-Verlag, Berlin, 1993.

Saludos!
Meteoro.

PD: Ah! es Runge-Kutta.

Chiquitines... es que estamos hablando de un tema matemático muy muy avanzado. Yo lo curse en 4º curso de ingeniería industrial, con 3 asignaturas diferentes a lo largo de todo ese curso.

Digamos que hay ciertos fenómenos físicos que obedecen a relaciones matemáticas concretas entre unas magnitudes y otras.

Hay algunos fenómenos que dependen únicamente de la evolución temporal. Por ejemplo, la posición de una piedra al ser lanzada viene expresada por las coordenadas x, y, z respecto a un punto de referencia. Durante el recorrido de la piedra en el aire actúan la fuerza gravitatoria, que es constante a lo largo de todo el proceso, y la resistencia aerodinámica, que depende de la velocidad que lleva la piedra (despreciamos el efecto del viento atmosférico). Si quisiéramos conocer a qué distancia podemos llegar a lanzar la piedra, tenemos que definir unos parámetros que especifican cómo hemos lanzado la piedra, es decir, la velocidad inicial y el ángulo inicial con respecto a la horizontal.

Una vez que hemos definido eso, queda determinada la trayectoria de la piedra. Mientras no especifiquemos esos datos, no sabremos hasta dónde llegará la piedra ni su trayectoria. A esos datos que definen el estado inicial se les conocen como condiciones iniciales.

En los modelos numéricos de predicción las condiciones iniciales son lo que comúnmente conocemos como "el análisis", es decir, los mapas correspondientes a +00 HORAS.

Hay otros fenómenos físicos cuya evolución depende no sólo de cúal es el estado inicial del sistema modelizado sino también, de cuáles son las restricciones que impone lo que le rodea

Las condiciones de contorno, también he leído alguna vez, condiciones laterales, se le van indicando al modelo cada ciertas horas, normalmente, a partir de la salidad de un modelo global. En el caso de HIRLAM, se toman estos datos laterales del ECMWF. Y afectan a la evolución de la predicción enormemente, ya que imponen una restricción espacial a la evolución de los elementos meteorológicos. Sin ellos, un modelo como el HIRLAM se quedaría "ciego" al no conocer cómo está cambiando la situación meteo "ahí fuera": en las zonas polares, en la zona de África, en el Atlántico occidental o en la vasta Asia.

¡Hola!

Cita de: ivanovitx en Viernes 14 Marzo 2008 14:06:18 PM
Chiquitines... es que estamos hablando de un tema matemático muy muy avanzado. Yo lo curse en 4º curso de ingeniería industrial, con 3 asignaturas diferentes a lo largo de todo ese curso.

hombre, está claro que es muy avanzado... gracias de nuevo por ser más preciso en los modelos numéricos!

Aún así, referente a la parte más matemática, estoy seguro de que vísteis cálculo numérico en la carrera, incluso problemas "stiff", etc. pero sólo por curiosidad: ¿también vísteis teoría de distribuciones, espacios de Sobolev, soluciones débiles, método de Perron, núcleos, etc?  Creo que eso sólo suele verse en el último curso de la carrera de Matemáticas. Al menos ese es mi caso.

¡Muchas gracias de nuevo por los detalles, ivanovitx!
Meteoro.

Hombre ivanovitx otro ingeniero. Tu eras de Bilbao, no? Así que ingeniero de san mames 

Analisis numerico I y II. Y asignatura de mecánica donde se profundizaba en el Metodo de Elementos finitos. Claro, todo ello inservible si antes no se han visto ecuaciones diferenciales, mecanica de fluidos y bueno, aquello de Laplace y fourier.

Os juro que mientras estudiaba cada asignatura pensaba, para que coño servira todo esto 

Siguiendo con las condiciones de contorno.

Un programa

Citar
ADFC es un solver publicado bajo licencia GPL (GNU Public License) que permite llevar a cabo ensayos fluidodinámicos en un ordenador, sirviendo de gran ayuda a todos los profesionales e investigadores que necesiten un túnel de viento virtual en sus trabajos e investigaciones. El programa es capaz de resolver las ecuaciones de Navier-Stokes para flujo viscoso incompresible en geometrías 2D y 3D.

CitarSe pueden definir problemas de forma flexible y tratar geometrías complejas mediante el uso de mallas desestructuradas y la amplia gama de condiciones de contorno soportadas: condición Dirichlet sobre el campo de velocidades, condición Neutral Boundary Condition aguas abajo, perfiles parabólico y logarítmico de velocidad, realimentación, condición Slip de deslizamiento, efecto Magnus. Cualquier condición de contorno tipo Dirichlet que se desee puede ser impuesta mediante las CCETE o Condiciones de Contorno Evaluables en Tiempo de Ejecución, gracias al uso de un intérprete matemático que calcula y actualiza su valor durante la simulación.

http://adfc.sourceforge.net/

Es decir las condiciones de contorno son algo más que lo expuesto por ivanovitx

Hasta donde yo se, que de momento es poco, a parte de las condiciones de contorno laterales, también existen condiciones de contorno superficiales y de la capa superior.

Desconozco si la simulación numérica se realiza por capas o considera toda la atmosfera como un conjunto, pero hay que tener en cuenta que también serían condiciones de contorno, la topografia de la región, la temperatura superficial... Y lo mismo para la capa superior.

Cita de: Twin en Sábado 15 Marzo 2008 10:04:28 AM
Hasta donde yo se, que de momento es poco, a parte de las condiciones de contorno laterales, también existen condiciones de contorno superficiales y de la capa superior.

Desconozco si la simulación numérica se realiza por capas o considera toda la atmosfera como un conjunto, pero hay que tener en cuenta que también serían condiciones de contorno, la topografia de la región, la temperatura superficial... Y lo mismo para la capa superior.

Efectivamente, existen condicones de contorno allá donde finaliza el dominio espacial modelizado. La orografía en sí no sería una condición de contorno, sino el contorno mismo del dominio. Pero sobre la orografía se deben imponer unas condiciones de contorno. Supongo que temperaturas, flujos radiativos, flujos de humedad, coeficientes de fricción o similares... De los modelos meteo no conczco mucho que se diga.

Si, Mor, soy uno de los sufridores de la Escuela de San Mames... Conocida por meternos mates por un tubo.

En mi promoción fue algo así:
1er curso:

- Algebra lineal
- Cálculo infinitesimal
- Ampliación de matemáticas 1 (aqui teniamos las integrales de línea, las dobles, las triples, los teoremas de Stokes, Green y Gauss, todo lo relativo a variable vectorial, con su jacobiano y el hessiano...)

2º curso:
- Ampliación de mates 2 (aquí sobre todo era variable compleja, transformada de Laplace y análisis de Fourier, esta última tan utilizada en MP3)
- Ecuaciones diferenciales (no hay que comentarlo, verdad, un verdadero tostón)

4º curso:
- Analisis numérico (todos los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, p. ej. el de eliminación Gaussiana o el de Choleski, ecuaciones no-lineales, teoría de interpolación y aproximación, con señores tan majos como el pesado de Gauss, el exotico Chebyshev o  el desestabilizador Kutta, y la diferenciación e integración numérica, donde Simpson, que no Homer, se merece una mención)
- Ampliación de analisis numérico (aquí sobre todo merecen la "pena", los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y el tema de los problemas stiff y el jacobiano, las diferencias finitas y los elementos finitos con su forma débil, aquí me suena un tal Galerkin)

Como veis los ingenieros no nos dedicamos solo a los "cacharros", de libros de mates tengo un cajón entero...

Y como con eso no llegábamos a tener un conocimiento matemático suficiente teníamos una asignatura dedicada en exclusiva a los Elementos Finitos en Ingeniería Mecánica (todavía me acuerdo del cuadrilátero lineal...) y los que nos decidimos por la intensificación de Diseño Mecánico, teníamos otra asigantura de Elementos Finitos en Dinámica Estructural en 5º y último curso.

Lógicamente, algunos se quedan en el camino y acaban así:

  o así (este segundo es más habitual)

Gracias Mor por el enlace del programa ADFC. Sourceforge es un tesoro de la Humanidad