Con frecuencia se elige a las nubes como ejemplo de geometría fractal.

Aquí os dejo un pequeño artículo divulgativo, de fácil lectura, donde se introduce el concepto de fractal y la manera en que el matemático Benoit Mandelbrot llegó a él.

http://www.divulgameteo.es/uploads/Nubes-fractales.pdf



La condición de fractal de las nubes se pone de manifiesto en imágenes como ésta, en la que nos resulta imposible saber discernir si la nube generada por el geiser es mayor o menor que alguna de las las que tapizan el cielo.

estupendo artículo, que me ha retrotaido en el tiempo unos cuantos años  

solo un comentario sobre las curvas de koch,
el perímetro no es infinito, son las divisiones las que tienen tendencias al infinito, al ser cada división más pequeña que la anterior su sumatorio no será nunca infinito, el perímetro sigue estando limitado, eso sí, para obtener su valor exacto sería necesario realizar un número infinito de subdivisiones,

resumiendo, el perimetro tiende a un valor concreto de una manera infinita, siendo precisamente esta tendencia la que define la forma de dicho contorno.

(algo similar a la obtención del cociente de una raiz cuadrada => números irracionales)

Muy buena explicación, _00_.

Interesante artículo: las nubes son un muy buen ejemplo de la geometría fractal.

La figura formada por el método descrito en el artículo tiene perímetro infinito como bien se indica en el mismo: En cada iteración cada segmento es sustituido por una línea quebrada cuya longitud es 4/3 la longitud del segmento original. Después de n iteraciones el perímetro de la figura es por tanto (4/3)^n (^ es "elevado a") por la longitud del triángulo original. Por lo tanto, cuando n crece a infinito, también lo hace el perímetro. Sin embargo, el área de la figura permanece acotada en todo momento, y aunque va creciendo, lo hace de una forma cada vez más leve.

Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 01:24:06 AM
estupendo artículo, que me ha retrotaido en el tiempo unos cuantos años 

solo un comentario sobre las curvas de koch,
el perímetro no es infinito, son las divisiones las que tienen tendencias al infinito, al ser cada división más pequeña que la anterior su sumatorio no será nunca infinito, el perímetro sigue estando limitado, eso sí, para obtener su valor exacto sería necesario realizar un número infinito de subdivisiones,

resumiendo, el perimetro tiende a un valor concreto de una manera infinita, siendo precisamente esta tendencia la que define la forma de dicho contorno.

(algo similar a la obtención del cociente de una raiz cuadrada => números irracionales)

¿Al final eso es un problema de Series?¿No?

Saludos 

Cita de: mamato en Lunes 10 Enero 2011 10:53:18 AM
Interesante artículo: las nubes son un muy buen ejemplo de la geometría fractal.

La figura formada por el método descrito en el artículo tiene perímetro infinito como bien se indica en el mismo: En cada iteración cada segmento es sustituido por una línea quebrada cuya longitud es 4/3 la longitud del segmento original. Después de n iteraciones el perímetro de la figura es por tanto (4/3)^n (^ es "elevado a") por la longitud del triángulo original. Por lo tanto, cuando n crece a infinito, también lo hace el perímetro. Sin embargo, el área de la figura permanece acotada en todo momento, y aunque va creciendo, lo hace de una forma cada vez más leve.

no, en todo caso segmento será substituido por una linea quebrada cuya longitud es 3/4,
por lo que queda como (3/4)^n (enésima potencia de un número menor de 1)

logicamente un perímetro infinito albergaría una superficie infinita, facilmente deducible, y demostrable, mediante integración y/o derivación.

Cita de: rayo_cruces en Lunes 10 Enero 2011 16:06:34 PM


¿Al final eso es un problema de Series?¿No?

Saludos  

Sip  
(y de la velocidad con las que estas convergen hacia un valor determinado)

Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 16:25:21 PM

Cita de: mamato en Lunes 10 Enero 2011 10:53:18 AM
Interesante artículo: las nubes son un muy buen ejemplo de la geometría fractal.

La figura formada por el método descrito en el artículo tiene perímetro infinito como bien se indica en el mismo: En cada iteración cada segmento es sustituido por una línea quebrada cuya longitud es 4/3 la longitud del segmento original. Después de n iteraciones el perímetro de la figura es por tanto (4/3)^n (^ es "elevado a") por la longitud del triángulo original. Por lo tanto, cuando n crece a infinito, también lo hace el perímetro. Sin embargo, el área de la figura permanece acotada en todo momento, y aunque va creciendo, lo hace de una forma cada vez más leve.

no, en todo caso segmento será substituido por una linea quebrada cuya longitud es 3/4,
por lo que queda como (3/4)^n (enésima potencia de un número menor de 1)

logicamente un perímetro infinito albergaría una superficie infinita, facilmente deducible, y demostrable, mediante integración y/o derivación.

Estás equivocado: donde había 3 segmentos de la misma longitud, en la siguiente iteración hay 4: el ratio de crecimiento es 4/3. Aquí está muy bien explicada la construcción de la curva: http://es.wikipedia.org/wiki/Copo_de_nieve_de_Koch

Precisamente, la gracia de esta curva es que tiene área finita y perímetro infinito, en matemáticas aparecen paradojas como ésta... Lo que sí es imposible es construir una curva cerrada con perímetro finito y área infinita.

Un saludo.  

si, entiendo lo que dices, pero eso está mal explicado, o mejor dicho, se aprovecha de una mala interpretación de los infinitos

esta es la formula que dan:


lo que es una entelequia, ya que la realidad es que esa sucesión cuando tiende al infinito es del tipo: infinito/infinito, lo que es una indeterminación,

esa es la peculariedad que tienen, y que no se permite su tratamiento según la matemática "usual", al igual que son formas no derivables,

al igual que es una entelequia hablar de la curva de koch cuando en realidad no es ninguna curva

similar es decir que una raiz cuadrada no tiene solución ya que no se puede calcular su número exacto (mediante números enteros)

siguiendo ese método podríamos decir que la costa de la península es infinita 

o siguiendo ese mismo planteamiento podemos concluir que el area también es infinita ya que con cada subdivisión que hacemos aumentamos el area, infinitesimalmente, pero la aumentamos

bueno, lo que quiero dar a entender es que los fractales no son perímetros al uso,

son lineas que tienen al infinito y al mismo tiempo son superficies que tienden a cero, duales como la luz 

Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 18:15:11 PM
si, entiendo lo que dices, pero eso está mal explicado, o mejor dicho, se aprovecha de una mala interpretación de los infinitos

esta es la formula que dan:


lo que es una entelequia, ya que la realidad es que esa sucesión cuando tiende al infinito es del tipo: infinito/infinito, lo que es una indeterminación,

esa es la peculariedad que tienen, y que no se permite su tratamiento según la matemática "usual", al igual que son formas no derivables,

Indeterminación significa que todavía no sabemos cuánto vale el límite, aparece en reglas de cálculos de límites para que los alumnos tengan cuidado y apliquen a continuación la técnica correcta para que deje de ser indeterminación, es decir, para calcularlo bien.

En nuestro caso el límite (en realidad te sobra el "-1" del exponente del denominador pero esto no cambia el resultado final) es infinito: 4/3 por 4/3 por 4/3 etc. da obviamente infinito, o si lo prefieres un nº mayor que 1 elevado a infinito es infinito.

Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 18:15:11 PM
al igual que es una entelequia hablar de la curva de koch cuando en realidad no es ninguna curva

similar es decir que una raiz cuadrada no tiene solución ya que no se puede calcular su número exacto (mediante números enteros)

Estamos hablando de curvas en el sentido matemático, por supuesto, y en tal sentido la curva de Koch es una curva como cualquier otra. Del mismo modo una raíz cuadrada es un número en sí mismo, cómo se puede expresar en términos de números más "sencillos" es otro cantar.

Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 18:15:11 PM
siguiendo ese método podríamos decir que la costa de la península es infinita 

Efectivamente, es imposible medir la longitud de la costa de la península ibérica, si lo intentásemos hacer con precisión (a escala tan pequeña como podamos) nos daría una cantidad muchísmo mayor de la que se puede encontrar en algunas publicaciones, que está obtenida a una escala arbitraria y grande, despreciando los accidentes geográficos de menor escala.

Sin embargo despreciar esos accidentes tiene una repercusión muy pequeña en el cálculo del área, la superficie de la península ibérica que aparece en los libros es correcta, el error de cálculo es despreciable.

Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 18:15:11 PM
o siguiendo ese mismo planteamiento podemos concluir que el area también es infinita ya que con cada subdivisión que hacemos aumentamos el area, infinitesimalmente, pero la aumentamos

El área es finita: si imaginamos que el triángulo original mide 1 unidad de lado, se puede apreciar a simple vista que podemos encerrar el copo de nieve de Koch en un cuadrado de lado por ejemplo 4 unidades (con menos también vale). Por lo tanto, el área del copo es menor que el área del cuadrado (que es 16, finita), concluyendo así que el área del copo es finita.

Además me he tomado la molestia de calcular el área con exactitud. Ahora sí que aparece una serie (suma con infinitos sumandos) geométrica convergente (que da un nº) de las que hablábais antes. El resultado es que el área del copo es igual al área del triángulo multiplicada por 5/2. O sea que si el área original era 1, el área final es 2.5.

Os recomiendo el clásico "How Long Is the Coast of Britain? Statistical
Self-Similarity and Fractional Dimension" de Mandelbrot. Por supuesto mamato tiene razón: es precisamente la no derivabilidad la que permite que un perímetro infinito circunscriba un area finita, lo que no podría nunca suceder si fuese derivable. La auto-similitud a cualquier escala implica una cantidad infinita de detalle y, por tanto, un perímetro infinito.

Saludos.

Cita de: _00_ en Lunes 10 Enero 2011 01:24:06 AM
al ser cada división más pequeña que la anterior su sumatorio no será nunca infinito

Bueno, esto creo que no siempre es cierto...la serie "sumatorio" 1/n creo recordar que no es convergente, ¿no?
Un saludo.